 Cena: 20.00 zł |
Przedmowa............................................................................. 9
I. KLASYFIKACJA OSOBLIWO´SCI ................................................ 13
1. Poj˛ecia wst˛epne .................................................................... 15
1.1. Kiełki ......................................................................... 15
1.2. D˙zety ......................................................................... 16
2. Własno´sci kiełków................................................................. 19
2.1. Zdeterminowanie kiełka ..................................................... 19
2.2. Kryterium k-zdeterminowania .............................................. 20
2.3. Twierdzenie o funkcjach uwikłanych ........................................ 21
2.4. Dowód twierdzenia o k-zdeterminowaniu .................................. 24
2.5. Kowymiar kiełka ............................................................. 27
3. Rozwini˛ecia uniwersalne .......................................................... 30
3.1. Rozwini˛ecia osobliwo´sci ..................................................... 30
3.2. Twierdzenie Sarda, transwersalno´s´c ......................................... 31
3.3. Twierdzenie przygotowawcze Malgrange’a .................................. 35
3.4. Rozwini˛ecia uniwersalne osobliwo´sci ....................................... 37
4. O lokalnej stabilno´sci rozwini˛e´c .................................................. 44
4.1. Twierdzenie o transwersalno´sci .............................................. 44
4.2. Projekcje gładkich rozmaito´sci .............................................. 45
4.3. Stabilno´s´c rozwini˛e´c ......................................................... 47
5. Klasyfikacja kiełków osobliwych ................................................. 52
5.1. Eliminacja cz˛e´sci kwadratowej ............................................... 52
5.2. Osobliwo´sci proste ........................................................... 54
5.3. Klasyfikacja osobliwo´sci prostych; dowód twierdzenia o klasyfikacji kieł[1]ków prostych ................................................................. 56
5.4. Kiełki proste w przestrzeni o wymiarze ≤ 5 ................................ 61
5.5. Katastrofy elementarne ...................................................... 62
6. Osobliwo´sci funkcji w obecno´sci brzegu ......................................... 68
6.1. Kryterium k-zdeterminowania .............................................. 68
6 Spis tre´sci
6.2. Klasyfikacja osobliwo´sci prostych wzgl˛edem grupy G L
.................... 69
6.3. Rozwini˛ecia uniwersalne osobliwo´sci funkcji w obecno´sci brzegu ......... 75
6.4. Uogólniony zbiór bifurkacyjny w obecno´sci brzegu ....................... 80
II. OSOBLIWO´SCI W GEOMETRII SYMPLEKTYCZNEJ........................ 83
7. Kaustyki, układy promieni........................................................ 85
7.1. Podrozmaito´sci i projekcje Lagrange’a....................................... 85
7.2. Równowa˙zno´s´c podrozmaito´sci Lagrange’a ................................. 94
7.3. Transformacje układów promieni ........................................... 99
7.3.1. Odbicie na płaszczy´znie (rys. 7.4) ..................................... 102
7.3.2. Dyfrakcja geometryczna na przysłonach ............................. 103
7.3.3. Osobliwe układy promieni w dyfrakcji na gładkich powierzchniach 107
7.3.4. Kwazikaustyki ......................................................... 109
8. Kaustyki i katastrofy w przestrzeniach z symetri ˛a ............................... 117
8.1. Symetryczne podrozmaito´sci Lagrange’a.................................... 117
8.2. Równowa˙zno´s´c symplektyczna.............................................. 119
8.3. Determinowalno´s´c rodzin generuj ˛acych .................................... 125
8.4. Kaustyki symetryczne wzgl˛edem grupy Z2
................................. 126
8.5. Równowa˙zno´s´c kaustyczna .................................................. 133
III. MODELE ZEEMANA W NAUKACH PRZYRODNICZYCH ............... 141
9. Katastroficzne modele w socjologii ............................................... 143
9.1. Sformułowanie podstaw teoretycznych modelu............................. 143
9.2. Wpływowe partie polityczne i agencje reklamowe .......................... 144
9.3. Rozszerzony model działania partii politycznej............................. 148
10. Model pracy serca ................................................................. 152
10.1.Wprowadzenie ............................................................... 152
10.2.Konstrukcja modelu matematycznego ...................................... 153
11. Model katastroficzny działania neuronu .......................................... 157
11.1.Wprowadzenie ............................................................... 157
11.2.Konstrukcja modelu ......................................................... 158
11.3.Układ dynamiczny opisuj ˛acy działanie neuronu ............................ 161
12. Maszyna katastroficzna............................................................ 163
13. O strukturalizacji zjawisk według R. Thoma (szkic) ............................. 167
Literatura..........................................